प्रस्तुत लेख के अंतर्गत हम गौस की प्रमेय के अनुप्रयोग के बारे में अध्ययन करेंगे। वैसे तो गौस की प्रमेय के अनुप्रयोग कई सारे हैं। लेकिन कक्षा 12 भौतिकी के अंतर्गत केवल तीन ही अनुप्रयोग को शामिल किया गया है इसीलिए हम इन तीनों अनुप्रयोग का ही अध्ययन करेंगे।
गौस की प्रमेय के बारे में हम पिछले लेख में पढ़ चुके हैं। इसके अनुप्रयोग से संबंधित परीक्षाओं में दीर्घ उत्तरीय प्रश्न पूछे जाते हैं। इसलिए आप सभी छात्र इन्हें ध्यान से पढ़ें और चित्रों पर ज्यादा फोकस करें चूंकि सारी थ्योरी चित्र से ही बनाई गई है।
गौस की प्रमेय के अनुप्रयोग
12वीं एनसीईआरटी बुक में गौस की प्रमेय के केवल तीन ही अनुप्रयोगों को शामिल किया गया है।
1. अनंत लंबाई के एकसमान आवेशित सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र
किसी अनंत लंबाई के एकसमान रेखीय आवेश घनत्व λ के तार के निकट r दूरी पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। तो इसके लिए तार के चारों ओर एक बेलनाकार गौसियन पृष्ठ खींचते हैं। इस पृष्ठ पर एक क्षेत्रफल अवयव dA लेते हैं।
तब इस क्षेत्रफल अवयव से होकर जाने वाला विद्युत फ्लस्क
dΦE = \small \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A}
dΦE = E dA cos0°
dΦE = E dA
बेलनाकार पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लस्क
ΦE = \small \int EdA
ΦE = E \int dA
चूंकि बेलन का क्षेत्रफल A = 2πrℓ होता है तो
ΦE = E × 2πrℓ
दो समतल पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स शून्य होगा। चूंकि
dΦE = EdA cos90°
dΦE = 0
अतः अब सम्पूर्ण गौसियन पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स
ΦE = E × 2πrℓ
गौस की प्रमेय से ΦE = \large \frac {q}{ɛ_o} जहां पृष्ठ में λℓ = q आवेश के बराबर है। तो
\large \frac {q}{ɛ_o} = E × 2πrℓ
\large \frac {λℓ}{ɛ_o} = E × 2πrℓ
\large \frac {λ}{ɛ_o} = E × 2πr
अतः अनंत लंबाई के एकसमान आवेशित सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { E = \frac{λ}{2πɛ_or} }
Note – कुछ इस प्रकार से प्रशन परीक्षाओं में पूछे जाते हैं कि गौस की प्रमेय की सहायता से एक समान रुप से आवेशित अनंत लंबाई के सीधे तार के निकट विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक प्राप्त कीजिए?
2. एकसमान आवेशित अनंत समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र
माना एक अनंत विस्तार की आवेशित समतल चादर पर है। जिस पर एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है। आवेशित समतल से r दूरी पर एक बिंदु P है। जिस पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। तब इसके लिए एक गौसियन पृष्ठ की खींचते हैं। जो कि एक बेलनाकार आकृति का होगा।
अतः बेलन के दोनों बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता परिमाण में समान होगी।
तब बेलन के दोनों समतल सिरों से गुजरने वाला विद्युत फ्लस्क
ΦE = \small \int \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A} + \int \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A}
ΦE = E \int dA cos0° + E \int dA cos0°
ΦE = EA + EA
ΦE = 2EA
बेलनाकार पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लस्क शून्य होगा।
चूंकि ΦE = \small \int \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A}
ΦE = E dA cos90°
ΦE = 0
अतः बेलनाकार पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लस्क
ΦE = 2EA
चूंकि गौस की प्रमेय से ΦE = \large \frac {q}{ɛ_o} जहां पृष्ठ में σA = q आवेश के बराबर है। तो
\frac {σA}{ɛ_o} = 2EA
अतः एकसमान आवेशित अनंत समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { E = \frac{σ}{2ɛ_o} }
Note – कुछ इस प्रकार से प्रशन परीक्षाओं में पूछे जाते हैं कि गौस के नियम का उपयोग करके एक समान आवेशित अनंत समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र ज्ञात कीजिए?
3. एकसमान आवेशित पतले गोलीय कोश के कारण वैद्युत क्षेत्र
माना R त्रिज्या का एक गोलीय कोश है। जिसका एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है इस कोश +q आवेश दिया गया है। जो उसके पृष्ठ पर एकसमान रूप से वितरित है। किसी बिंदु P पर कोश के बाहर, पृष्ठ पर तथा कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है।
(i) कोश के बाहर विद्युत क्षेत्र –
गोलीय कोश के बाहर किसी बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करने के लिए आवेशित कोश के केंद्र O से r दूरी पर एक गोलीय पृष्ठ खींचते हैं। जिसे गोसियन पृष्ठ भी कहते हैं। अतः पृष्ठ पर बिंदु P के चारों ओर एक क्षेत्रफल अवयव dA है। तो इससे होकर गुजरने वाला वैद्युत फ्लस्क
dΦE = \small \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A}
dΦE = E dA cos0°
dΦE = E dA
पूरे पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लस्क
dΦE = \small \oint \overrightarrow{E} · d\overrightarrow{A}
dΦE = \small \oint E dA
dΦE = E \small \oint dA
(चूंकि गोले का क्षेत्रफल A = 4πr2)
तो dΦE = E × 4πr2
गौस की प्रमेय से dΦE = \large \frac{q}{ε_o} तो
\large \frac{q}{ε_o} = E × 4πr2
या E = \large \frac{q}{4πε_or^2}
अतः गोलीय कोश के बाहर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { E = \frac{1}{4πε_o} \frac{q}{r^2} }
(ii) कोश के पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र –
यदि बिंदु P, गोलीय कोश के पृष्ठ पर है। तो (r = R)
अतः गोलीय कोश के पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { E = \frac{1}{4πε_o} \frac{q}{R^2} }
(ii) कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र –
चूंकि बिंदु P गोलीय कोश के भीतर है। तब इस प्रकरण में भी P से गुजरने वाला गोसियन पृष्ठ एक गोला है जिसका केंद्र O है। तो गोसियन पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स
ΦE = E × 4πr2
क्योंकि गोसियन पृष्ठ के भीतर कोई आवेश नहीं है तब गौस के नियम के अनुसार
\large \frac{q}{ε_o} = E × 4πr2
अतः \large \frac{0}{ε_o} = E × 4πr2
या \footnotesize \boxed { E = 0 }
अतः गोलीय कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।
Note – कुछ इस प्रकार से प्रशन परीक्षाओं में पूछे जाते हैं कि गौस की प्रमेय की सहायता से एक समान रुप से आवेशित गोलीय कोश के कारण (i) कोश के बाहर, (ii) कोश के पृष्ठ पर तथा, (iii) कोश के भीतर, वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए?