गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र स्थापित कीजिए, उत्तल व अवतल गोलीय पृष्ठ के लिए

इसके अंतर्गत दो प्रकार से प्रश्न पूछे जाते हैं।
1. उत्तल गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र स्थापित कीजिए?
2. अवतल गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र स्थापित कीजिए?

गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र

जब किन्हीं दो माध्यमों के बीच कोई गोलीय पृष्ठ को रख दिया जाता है। एवं इस गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन की घटना घटित होती हो, तब इस प्रकार के पृष्ठ को गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन (refraction at spherical surface in hindi) कहते हैं।

गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र –
माना SPS’ एक उत्तल गोलीय पृष्ठ है। यह गोलीय पृष्ठ निर्पेक्ष अपवर्तनांक n₁ के विरल माध्यम को निर्पेक्ष अपवर्तनांक n₁ के सघन माध्यम से अलग करता है। गोलीय पृष्ठ SS’ का ध्रुव P है। तथा मुख्य अक्ष O पर वस्तु रखी है। एवं पृष्ठ का वक्रता केंद्र C है। वस्तु का प्रतिबिंब बिंदु I पर बनता है। चित्र में आपतन कोण i तथा अपवर्तन कोण r है।
माना OA, IA तथा CA मुख्य अक्ष से क्रमशः α, β तथा γ कोण बनाते हैं। माना यदि A से मुख्य अक्ष पर डाले गए लंब AM की लंबाई h है तो
∠AOM = α
∠AIM = β
∠ACM = γ

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चूंकि
बहिष्कोण प्रमेय द्वारा ∆OCA में
i = α + γ समीकरण (1)
तथा ∆ICA में
r = β + γ समीकरण (2)
अब स्नैल के नियम के अनुसार
\large \frac{sini}{sinr} = \frac{n_1}{n_2}

चूंकि गोलीय पृष्ठ का व्यास बहुत कम होने के कारण आपतन कोण i तथा अपवर्तन कोण r को सूक्ष्म माना जा सकता है। तब
sini = i
तथा sinr = r
तब \large \frac{i}{r} = \frac{n_1}{n_2}
या n₁i = n₂r
समीकरण (1) व समीकरण (2) के मान रखने पर
n₁i = n₂r
n₁(α + γ) = n₂(β + γ) समीकरण (3)

चिन्ह परिपाटी के अनुसार u तथा v ऋणात्मक परंतु R धनात्मक है।
PO = -u
PI = -v
PC = +R
अब α, β तथा γ के मान
α = tanα = \frac{AM}{PO} = \large \frac{h}{- u}
β = tanβ = \frac{AM}{PI} = \large \frac{h}{- v}
γ = tanγ = \frac{AM}{PC} = \large \frac{h}{R}

α, β तथा γ के मान समीकरण (3) में रखने पर
n₁ \large \left( \frac{h}{- u} + \frac{h}{R} \right) = n₂ \left( \frac{h}{- v} + \frac{h}{R} \right)
h \large \left( \frac{n_1}{-u} + \frac{n_1}{R} \right) = h \left( \frac{n_2}{- v} + \frac{n_2}{R} \right)
\large \frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2}{R} - \frac{n_1}{R}
तो \footnotesize \boxed { \frac{n_2}{v} - \frac{n_2}{u} = \frac{(n_2 - n_1)}{R} }
इस सूत्र का प्रयोग गोलीय पृष्ठ वाले आंकिक प्रश्नों में किया जाता है।

Note – छात्र ध्यान दें कि यह जो सूत्र स्थापित किया गया है यह उत्तल गोलीय पृष्ठ पर प्रकाश के अपवर्तन का सूत्र है।
इसी प्रकार अवतल गोलीय पृष्ठ पर प्रकाश के अपवर्तन का सूत्र भी यही होता है। बस उसको स्थापित करने का तरीका अलग है। उसने चित्र भी अलग प्रयोग किया जाता है।
अगर परीक्षाओं में यह आता है तो ध्यान दें कि उत्तल गोलीय पृष्ठ है या अवतल गोलीय पृष्ठ है उसी के अनुसार करना, गलती मत करना।