वृत्ताकार धारावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र
माना एक वृत्ताकार धारावाही कुंडली (पाश) है। जिसकी त्रिज्या r है। माना कुंडली की अक्ष पर इसके केंद्र से x दूरी पर एक बिंदु P है। इस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। जबकि वृत्ताकार कुंडली में i एंपियर की विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है।
माना धारावाही कुंडली अनेक अल्प अवयवों से बनी है। इसमें एक अल्प अवयव है जिसकी लंबाई dℓ है। इस अल्प अवयव की बिंदु P से दूरी a है। तो बिंदु P पर बायो सेवर्ट के नियम से चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
dB = \large \frac{µ_0}{4π} \frac{idℓsinθ}{a^2}
जहां θ लंबाई dℓ तथा त्रिज्या r के बीच कोण है। जोकि कागज के तल के लंबवत् है अर्थात
θ = 90° तब sin90° = 1
तो चुंबकीय क्षेत्र
dB = \large \frac{µ_0}{4π} \frac{idℓ}{a^2} समी.(1)
अब चुंबकीय क्षेत्र को क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर ऊर्ध्वाधर घटक dBcosθ शून्य हो जाता है।
चूंकि θ = 90° तो cos90° = 0
इसलिए चुंबकीय क्षेत्र dB = 0
जबकि क्षैतिज घटक dBsinθ जुड़ जाता है। अतः बिंदु P पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
B = \small \oint dBsinθ
समी.(1) का मान रखने पर चुंबकीय क्षेत्र
B = \small \oint \frac{µ_0}{4π} \frac{idℓsinθ}{a^2}
चूंकि sinθ = \frac{लम्ब}{कर्ण} होता है। तब चित्र से
sinθ = \large \frac{r}{a}
तो चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
B = \small \oint \frac{µ_0}{4π} \frac{idℓ}{a^2} × \frac{r}{a}
B = \frac{µ_0}{4π} \frac{i × r}{a^3} \small \oint dℓ
कुण्डली (पाश) की लंबाई \oint dℓ = 2πr होता है तथा पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(कर्ण)2 = (लंब)2 + (आधार)2
(r)2 = (a)2 + (x)2
r = (a2 + x2)½
तब चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
B = \large \frac{µ_0}{4π} \frac{2πir^2}{(r^2 + x^2)^{3/2}}
\footnotesize \boxed { B = \frac{µ_0 i r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}} }
यदि कुंडली में N फेरे हैं तो चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { B = \frac{µ_0N i r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}} }
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इस चुंबकीय क्षेत्र की दिशा कुंडली की अक्ष के अनुदिश होगी।
कुंडली के केंद्र पर x = 0
तब चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
\footnotesize \boxed { B = \frac{µ_0 i}{2r} }
यह धारावाही कुंडली की अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है। जहां μ0 को चुंबकशीलता है इसका मान 4π × 10-7 न्यूटन/एंपियर2 होता है तो चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
B = \frac{4π × 10^{-7} × i}{2r}
\footnotesize \boxed { B = 2π × 10^{-7} \frac{i}{r} }